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      最短路径快速算法(SPFA)

      HDC

      概述

      最短路径快速算法(Shortest Path Faster Algorithm, SPFA)是贝尔曼-福特(Bellman–Ford)算法的改进版本,用于计算图中源节点到所有可达节点的最短路径,即单源最短路径(Single-Source Shortest Paths, SSSP)。该算法适用于包含负权重边的图。

      SPFA算法最早由E.F. Moore于1959年发表,但“最短路径快速算法(SPFA)”这个名称是由FanDing Duan在1994年重新发现该算法时赋予的。

      基本概念

      SPFA

      给定一个图G=(V, E)和一个源节点s∈V,使用数组d[]来存储从s到所有节点的最短路径距离。初始化d[]中的所有元素为无穷大,除了d[s] = 0。

      SPFA的基本思想与贝尔曼-福特算法相同,即每个节点都被用作松弛其邻居节点的候选节点(Candidate)。相对于后者的改进在于,SPFA维护一个先进先出的队列Q来存储候选节点,并且只有被松弛的节点才会被添加到队列中。

      松弛操作是指通过考虑经过节点u的路径,更新与节点u相连的节点v的距离,使其获得可能的更短距离。具体来说,节点v的距离会被更新为d[v] = d[u] + w(u,v),其中w(u,v)是边(u,v)的权重。此更新仅在当前d[v]大于d[u] + w(u,v)时进行。

      算法开始时,除了源节点,所有节点的距离都被设为无穷大,因此源节点被视为第一个被松弛并推入队列的节点。

      在每次迭代中,SPFA从队列Q中出队一个节点u作为候选节点。对于图中的每条边(u,v),如果节点v可以被松弛,则执行以下步骤:

      • 松弛节点v:d[v] = d[v] + w(u,v)。
      • 如果v不在队列Q中,则将节点v推入队列Q。

      一直重复这个过程,直到没有更多的节点可以被松弛。

      下面的步骤说明了SPFA如何计算以A为源节点的出边方向的带权最短路径:

      特殊说明

      • SPFA能够处理具有负权重边的图,前提是(1)源节点无法访问任何位于负循环(Negative Cycle)中的节点,以及(2)最短路径是有向的。负循环是指边权重之和为负的循环。如果存在负循环,或者存在负权重但最短路径是无向的,该算法将产生距离为无限的结果。这是因为算法会在负循环内或负边上反复遍历,导致每次的距离都不断减小。
      • 如果两个节点之间存在多条最短路径,算法会找出所有这些路径。
      • 在非连通图中,算法只输出源节点所在的连通分量内所有节点到源节点的最短距离。

      示例图集

      创建示例图集:

      // 在空图集中逐行运行以下语句
      create().edge_property(@default, "value", int32)
      insert().into(@default).nodes([{_id:"A"}, {_id:"B"}, {_id:"C"}, {_id:"D"}, {_id:"E"}, {_id:"F"}, {_id:"G"}])
      insert().into(@default).edges([{_from:"A", _to:"B", value:2}, {_from:"A", _to:"F", value:4}, {_from:"B", _to:"F", value:6}, {_from:"B", _to:"C", value:3}, {_from:"B", _to:"D", value:3}, {_from:"D", _to:"F", value:2}, {_from:"F", _to:"E", value:1}, {_from:"D", _to:"E", value:2}, {_from:"E", _to:"G", value:3}])
      

      创建HDC图集

      将当前图集全部加载到HDC服务器hdc-server-1上,并命名为 hdc_sssp

      CALL hdc.graph.create("hdc-server-1", "hdc_sssp", {
        nodes: {"*": ["*"]},
        edges: {"*": ["*"]},
        direction: "undirected",
        load_id: true,
        update: "static",
        query: "query",
        default: false
      })
      

      hdc.graph.create("hdc_sssp", {
        nodes: {"*": ["*"]},
        edges: {"*": ["*"]},
        direction: "undirected",
        load_id: true,
        update: "static",
        query: "query",
        default: false
      }).to("hdc-server-1")
      

      参数

      算法名:sssp

      参数名
      类型
      规范
      默认值
      可选
      描述
      ids _id / / 通过_id指定单个源节点
      uuids _uuid / / 通过_uuid指定单个源节点
      direction String in, out / 指定最短路径中所有边的方向,in表示仅包含入边,out表示仅包含出边;若未设置则不考虑边方向
      edge_schema_property []"<@schema.?><property>" / / 作为权重的数值类型边属性,权重值为所有指定属性值的总和;不包含指定属性的边将被忽略
      record_path Integer 0, 1 0 是否在结果中包含最短路径。设定为1时,返回totalCost和最短路径;设置为0时,仅返回totalCost
      impl_type String spfa beta 指定SSSP算法的执行类型;计算SPFA时,设置为spfabeta是嬴图默认最短路径算法
      return_id_uuid String uuid, id, both uuid 在结果中使用_uuid_id或同时使用两者来表示点。仅可使用_uuid表示边
      limit Integer ≥-1 -1 限制返回的结果数;-1返回所有结果
      order String asc, desc / 根据totalCost值对结果排序

      文件回写

      CALL algo.sssp.write("hdc_sssp", {
        params: {
          ids: "A",
          edge_schema_property: "@default.value",
          impl_type: "spfa",
          return_id_uuid: "id"
        },
        return_params: {
          file: {
            filename: "costs"
          }
        }
      })
      

      algo(sssp).params({
        project: "hdc_sssp",
        ids: "A",
        edge_schema_property: "@default.value",
        impl_type: "spfa",
        return_id_uuid: "id"
      }).write({
        file: {
            filename: "costs"
        }
      })
      

      结果:

      _id,totalCost
      D,5
      F,4
      B,2
      E,5
      C,5
      G,8
      

      CALL algo.sssp.write("hdc_sssp", {
        params: {
          ids: "A",
          edge_schema_property: "@default.value",
          impl_type: "spfa",
          record_path: 1,
          return_id_uuid: "id"
        },
        return_params: {
          file: {
            filename: "paths"
          }
        }
      })
      

      algo(sssp).params({
        project: "hdc_sssp",
        ids: "A",
        edge_schema_property: "@default.value",
        impl_type: "spfa",
        record_path: 1,
        return_id_uuid: "id"
      }).write({
        file: {
            filename: "paths"
        }
      })
      

      结果:

      totalCost,_ids
      8,A--[102]--F--[107]--E--[109]--G
      5,A--[101]--B--[105]--D
      5,A--[102]--F--[107]--E
      5,A--[101]--B--[104]--C
      4,A--[102]--F
      2,A--[101]--B
      

      完整返回

      CALL algo.sssp("hdc_sssp", {
        params: {
          ids: 'A',
          edge_schema_property: 'value',
          impl_type: 'spfa',
          record_path: 0,
          return_id_uuid: 'id',
          order: 'desc'
        },
        return_params: {}
      }) YIELD r
      RETURN r
      

      exec{
        algo(sssp).params({
          ids: 'A',
          edge_schema_property: 'value',
          impl_type: 'spfa',
          record_path: 0,
          return_id_uuid: 'id',
          order: 'desc'
        }) as r
        return r
      } on hdc_sssp
      

      结果:

      _id totalCost
      G 8
      D 5
      E 5
      C 5
      F 4
      B 2

      流式返回

      CALL algo.sssp("hdc_sssp", {
        params: {
          ids: 'A',
          edge_schema_property: '@default.value',
          impl_type: 'spfa',
          record_path: 1,
          return_id_uuid: 'id'
        },
        return_params: {
          stream: {}
        }
      }) YIELD r
      RETURN r
      

      exec{
        algo(sssp).params({
          ids: 'A',
          edge_schema_property: '@default.value',
          impl_type: 'spfa',
          record_path: 1,
          return_id_uuid: 'id'
        }).stream() as r
        return r
      } on hdc_sssp
      

      结果:

      totalCost
      _ids
      8 ["A","102","F","107","E","109","G"]
      5 ["A","101","B","105","D"]
      5 ["A","102","F","107","E"]
      5 ["A","101","B","104","C"]
      4 ["A","102","F"]
      2 ["A","101","B"]
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